Программа конференции

Доклад посвящён вкладу Олега Васильевича Мантурова в развитие \(K\)-теории и её приложений. В центре внимания первой части доклада будет предложенная им явная фундаментальная конструкция для данного комплексного векторного расслоения \(\xi \to G/H\) над однородным пространством компактной группы Ли такого комплексного расслоения \(\mu\), что \[ \xi \oplus \mu = N, \] где \(N\) является тривиальным расслоением. В случае, когда база расслоения является некоторым конечным клеточным комплексом, имеется лишь теорема существования такого расслоения \(\mu\). Эта конструкция привела к решению актуальной задачи — геометрическому описанию образующих колец \(K(G/H)\) и произведения этих образующих.

В центре внимания второй части доклада находится приложение подхода Олега Васильевича к комплексным квадрикам — классу однородных пространств, играющих важную роль в задачах алгебраической топологии и алгебраической геометрии.

Гамильтонов цикл в 1-остове трёхмерного простого многогранника — это простой цикл, содержащий все его вершины. Гамильтонов тэта-подграф — это набор из трёх простых путей, соединяющих две различные вершины многогранника. Пути пересекаются только в начале и в конце. Все вершины многогранника лежат на объединении этих трёх путей. Гамильтонов \(K_4\)-подграф — это набор из 6 простых путей, попарно соединяющих 4 различные вершины многогранника. Пути пересекаются только в концах, и все вершины многогранника лежат на объединении этих 6 путей. В работах А. Д. Медных и А. Ю. Веснина была предложена конструкция, которая гамильтонову циклу, гамильтонову тэта-подграфу или гамильтонову \(K_4\)-подграфу \(\Gamma\) в 1-остове трёхмерного простого многогранника \(P\) сопоставляет трёхмерное ориентируемое многообразие \(N(P,\Gamma)\) с действием инволюции, пространство орбит которого является трёхмерной сферой. Отображение проекции на пространство орбит является двулистным накрытием, разветвлённым вдоль некоторого зацепления \(C_\Gamma\). Это зацепление состоит из тривиально вложенных окружностей, соответствующих рёбрам, не входящим в гамильтонов подграф.

В докладе будет рассказано о двух основных результатах:
1) критерий того, что зацепление \(C_\Gamma\) является гиперболическим;
2) критерий того, что зацепление \(C_\Gamma\) состоит из попарно незацепленных окружностей.

Вторая задача мотивирована вопросом В. М. Бухштабера о построении методами торической топологии семейств брунновых зацеплений и связана с эффектом Ефимова в квантовой механике.

Заполнение конечного метрического пространства \(M\) — это взвешенное дерево \(G\), соединяющее \(M\), такое, что расстояние по дереву \(G\) не меньше исходного расстояния в \(M\). Аналогично теории заполнений римановых многообразий М. Громова, здесь также полезно изучать заполнения наименьшего возможного веса — минимальные заполнения.

Минимальные заполнения оказались тесно связаны с кратчайшими деревьями, в частности, их веса дают точные оценки снизу на возможную длину кратчайших деревьев. Также установлена связь задачи о минимальном заполнении с линейным программированием и геометрией многомерных выпуклых многогранников.

Доклад посвящён геометрическим и комбинаторным свойствам многогранников \(W_G\). Представленные результаты получены А. Ивановым, А. Тужилиным и их учениками А. Ерёминым, З. Овсянниковым, Н. Стрелковой и О. Щербаковым.

In this talk we discuss the structure of idempotents in the multiplicative Temperley Lieb Algebra in terms of factorizations of the identity in categories. We compare these structures with the replication structure of DNA and with idempotent structure in other algebras such as the Brauer algebra.

В работе рассматривается задача о полиномиальных криволинейных мультипликативных интегралах вдоль кривой с полиномиальной параметризацией. Определяется структура подалгебры мультипликативно интегрируемых матричных функций второго порядка со следом нуль. Исследование проводится по степеням полиномиальных кривых. Решение найдено для случая, когда одна из таких степеней равна нулю.

Я представлю панораму однородных геометрических структур, связанных с исключительными группами Ли типа \(G_2\) как компактными, так и некомпактными: векторные распределения, конусные структуры, почти комплексные, c-проективные, конформные и CR-структуры. Рассматриваются размерности симметрии и твисторные соответствия.

Вложение \(K:S^1\hookrightarrow \mathbb{R}^d\) (то есть узел) называется ручным, если существует такой гомеоморфизм \(H\) пространства \(\mathbb{R}^d\) на себя, что \(H(K(S^1))\) является конечнозвенной ломаной в \(\mathbb{R}^d\); в противном случае \(K\) является диким. Дикие узлы существуют в \(\mathbb{R}^d\) при любом \(d\ge3\). При \(d\ge4\) все ручные узлы в \(\mathbb{R}^d\) тривиальны, то есть эквивалентны вложению на стандартную окружность.

К. Борсук описал в [1] такое ручное вложение \(B:S^1\hookrightarrow \mathbb{R}^d\), что ортогональная проекция \(B(S^1)\) на каждую гиперплоскость содержит \((d-1)\)-мерный шар, эквивалентно, имеет размерность \(d\). Внимательное рассмотрение конструкции Борсука показывает, что узел \(B(S^1)\) может иметь произвольный заданный тип узла, как ручной, так и дикий.

Случай \(d=3\) представляет особый интерес. Мы строим семейство попарно непересекающихся узлов в \(\mathbb{R}^3\), включающее ручные узлы любого типа; каждый тип встречается в нашем семействе в континуальном количестве экземпляров; при этом все плоские проекции каждого члена семейства являются двумерными.

Ниже \(p_{\Pi}:\mathbb{R}^3\to\Pi\) — ортогональная проекция на двумерную плоскость \(\Pi\subset\mathbb{R}^3\).

Теорема.

Пусть \(A\) — множество индексов, имеющее мощность континуума. Существует такое семейство вложений \(\{F_\alpha:S^1\hookrightarrow\mathbb{R}^3,\ \alpha\in A\}\), что:

1. \(F_\alpha(S^1)\cap F_\beta(S^1)=\varnothing\) для каждой пары различных индексов \(\alpha,\beta\in A\).
2. Для каждого \(\alpha\in A\) и каждой плоскости \(\Pi\subset\mathbb{R}^3\) имеем \[ \dim p_\Pi(F_\alpha(S^1))=2. \]
3. Для каждого ручного узла \(K:S^1\hookrightarrow\mathbb{R}^3\) существует такой континуальный набор индексов \(A_K\subset A\), что для всякого \(\alpha\in A_K\) найдётся такой гомеоморфизм \(H_\alpha:\mathbb{R}^3\cong\mathbb{R}^3\), что \[ H_\alpha(F_\alpha(S^1))=K(S^1). \]
4. Более того, для каждого узла \(K:S^1\hookrightarrow\mathbb{R}^3\), ручного хотя бы в одной из своих точек, существует такой континуальный набор индексов \(A_K\subset A\), что для всякого \(\alpha\in A_K\) найдётся такой гомеоморфизм \(H_\alpha:\mathbb{R}^3\cong\mathbb{R}^3\), что \[ H_\alpha(F_\alpha(S^1))=K(S^1). \]

Приведённый результат является усилением замечания [1, p. 272] (для узлов), [2, Cor. 2], а также частного случая [3, Cor. 4.3] (для узлов).

Литература

1. Borsuk K. An example of a simple arc in space whose projection in every plane has interior points. Fund. Math. 34 (1947), 272–277.
2. Baker B. J., Laidacker M. Embedding uncountably many mutually exclusive continua into Euclidean space. Can. Math. Bull. 32 (1989), no. 2, 207–214.
3. Frolkina O. On a question of B. J. Baker and M. Laidacker concerning disjoint compacta in \(\mathbb{R}^N\). Topology Appl. 329 (2023), Article 108376.

Алгебры Роу являются естественными некоммутативными C*-алгебрами, сопоставляемыми метрическим пространствам в духе некоммутативной геометрии Конна.

Например, они естественно возникают при исследовании спектров операторов Шрёдингера с потенциалом, равным нулю на дискретном бесконечном подмножестве точек некомпактного многообразия.

В этом случае проектор Ваннье лежит в алгебре Роу этого многообразия. Мы показываем, что класс этого проектора в K-теории алгебры Роу равен нулю.

Доказательство использует графы с вершинами в дискретном подмножестве нулей потенциала.

Попутно получается определить естественные отображения из гомологий графа в K-теорию алгебры Роу.

Аннотация будет добавлена позднее.

Мы рассматриваем однородные пространства групп Ли с компактными подгруппами стабилизаторов следующих двух типов:

1. Однородные пространства с интегрируемыми инвариантными распределениями.
2. Однородные пространства, все инвариантные римановы метрики которых являются геодезически орбитальными.

Последнее означает, что для произвольной инвариантной римановой метрики на данном однородном пространстве каждая её геодезическая является орбитой однопараметрической подгруппы группы изометрий.

Основной результат заключается в том, что существуют пространства первого типа, не являющиеся пространствами второго типа. Тем самым получен ответ на вопрос, поставленный В.Н. Берестовским и В.В. Горбацевичем в 2014 году.

Доклад основан на работе:

V.N. Berestovskii, Yu.G. Nikonorov, Homogeneous spaces with geodesic orbit Riemannian metrics and with integrable invariant distributions, 2026, arXiv:2601.07277.